Для БФА есть разница какое исковое заявление подавалось?

Загс не обязан вносить изменения. Даже после решения суда.

Он имеет право в 30 дневный срок опротестовать решение и подать апелляцию.

Затем кассацию.

Такие прицеденты были.

Установление факта принадлежности( не юридически значимоно факта, а именнл факта принадлежности, т.к никаких юпидически значимых последствий признание факта за собой не несет), нужно для единственной цели:дать суду дополнительное основание(а у судп может быть субъективная оценка оснований) для того что бы вынести решение о возможности внесения изменений.

Что при признании факта, что при рассмотрении возможности внесения ответчика в деле не существует, только заинтересованные лица и заявитель.

Как правило, ЗАГС даже не присутствует на заседаниях, ограничиваясь ответом на запрос суда, в котором (опять же, как правило), сообщает что не имеет возражений по сути заявления.

Таким образом ЗАГС, не выступает против внесения изменений(в третий раз-как правило), он просто ждет оснований для внесения изменений. Решение суда-именно такое основание.