Доказать, что сотрудник ЗАГСа совершил ошибку, когда заполнял данные на выдачу СОР ребенка?(Но ЗАГС прислал разьяснения судье, что национальность была выписана из паспорта, соответственно человек сам ее не вписывал.)Тут у судьи второй вопрос: если сотрудник ЗАГСа не допустила ошибку, тогда ошибка была в паспорте?

Ошибка может быть в несоблюдении порядка, установленного на момент регистрации акта.
Вот ЗАГС пишет, что вписали из паспорта. А каков был порядок тогда? Возможно, тем самым они уже проделали за вас вашу работу по доказыванию ошибки :)
Сейчас, например, указывается только по желанию заявителя. Если этого желания не было изъявлено (не была заполнена графа в заявлении), то ничего, кроме прочерка, сотрудник ЗАГС вписать не может. Иначе это будет его ошибка. Чтобы доказать, что ошибки не было - ЗАГС должен представить копию заявления, где заявителем вписана именно та национальность, что они указали в СоР. ЗАГС, естественно, ничего представить не сможет, т.к. эти заявления хранятся год и потом утилизируются.
На мой взгляд, как 1 из вариантов:
1. Поизучать каков был порядок на момент регистрации акта.
2. Если порядок был таков, что национальность вносилась добровольно, то указать, что вы в заявлении не указывали национальность вообще или указывали другую (если это правда, естественно).
3. Затребовать у ЗАГС копию вашего заявления, чтобы доказать это (естественно, они ответят, что у них оно не сохранилось). Предъявить ответ в суде.
4. На основе того, что:

- внесение было добровольным;
- вы не указывали национальность или указывали иную;

- ЗАГС внес запись вопреки вашему заявлению (о чем - спасибо им - они уже и сами поспешили сообщить суду) и существовавшему порядку, доказательство обратного представлено быть не может
заявить о допущении сотрудником ЗАГС ошибки и настаивать на её исправлении.

Универсальное правило действий в суде состоит в том, чтобы каждый факт, приводимый вами был доказан (подкреплен документами или показаниями свидетелей) или как минимум неопровержим и рассуждения строились строго с соблюдением правил логики (той, которая наука).