Я до конца не поняла, связано ли требование к проставлению апостиля только со временем выдачи документа (в РФ до июля 1992 года) или с повторной выдачей также?

Только с датой выдачи.

Например у моей бабушки (дочь предка) есть два СОР и оба повторные (еще и имена разные). Одно получено в августе 1953, а другое в 1996 году. Теоретически на СОР от 1953 года нужно получать выписки по АЗ или по форме 4, а на СОР 1996 года надо было бы и апостиль и выписку по АЗ или по форме 4? Верно?

Да. Но два СОР к антрагу прикладывать нет необходимости. Выберите какое-нибудь одно, все равно какое, раз они оба так и так не первичные. Но если у предка, от которого ведется происхождение, декларация только в этом СОР и нет справок о репрессиях по нац. признаку, то лучше приложить СОР от 1953 года, т.к. декларацию в документах, выданных после 1990 года, BVA подвергает сомнению.

Также в этой теме упоминается, что по опыту многие прикладывают документы без апостиля. Если я своё СОР (тоже повторное, первое утеряно), выданное после 1992 года, приложу копию заверенную неапостилированную, такой документ сразу отвергнут, или нет?

До сих пор не отвергали. Здесь главное не забыть приложить правильно оформленную копию: заверенную у нотариуса копию. снятую с оригинала + перевод. Иначе могут запросить документ повторно и уже конкретно напишут, что он должен быть с апостилем. Конечно, можно и проигнорировать это требование, за это тоже не откажут, но выглядеть это уже будет некрасиво, как будто человек даже со второго раза не понимает, как надо оформлять документы, прикладываемые к антрагу.