Беглое гугление показало, что есть нюансы:

Инструкция о порядке регистрации актов гражданского состояния" (утв. Минюстом РСФСР 20.01.1958)

12. При регистрации рождения ребенка, мать которого не состоит в зарегистрированном браке, ребенок записывается по фамилии матери с указанием отчества по ее желанию.
Сведения об отце в актовую запись и в свидетельство о рождении не вносятся.

13. Если мать после регистрации рождения ребенка зарегистрировала брак с его отцом, в актовую запись о рождении на основании письменного заявления родителей и свидетельства о браке вносятся сведения об отце ребенка и изменяется отчество ребенка по имени отца. По соглашению родителей может быть изменена фамилия ребенка на фамилию отца. В актовой записи изменяется также и фамилия матери, если она при регистрации брака приняла фамилию мужа.
Родителям выдается новое свидетельство о рождении ребенка с учетом внесенных в актовую запись изменений. Ранее выданное свидетельство о рождении аннулируется.
...
В графе 22 актовой записи делается отметка: "Изменение произведено на основании заявления родителей и свидетельства о браке серии ____________ N __________".

там же(к вопросу об усыновлении)

39. При регистрации усыновления усыновители должны представить копию решения исполнительного комитета Совета депутатов трудящихся об усыновлении, свидетельство о рождении усыновляемого и предъявить документы, удостоверяющие их личность.