Никакого свидетельства об установлении отцовства у нас, конечно, нет и не было (думаю в связи с тем, что законодательство того времени не предполагало наличе такого документа).

Вы правильно предполагаете. Кодекс законов о семье и браке, предусматривающий выдачу свидетельства об установлении отцовства, вступил в силу то ли в 1968, то ли в 1969 году. До этого отца просто вписывали в СОР на основании свидетельства о браке и заявления родителей.

Как бы поступил я:

• написать объяснение в произвольной форме, в котором указать, что свидетельство об установлении отцовства не было предусмотрено законодательством СССР на 1965 год. Отец в СОР указывался на основании свидетельства о браке и заявления родителей. Ссылки - https://lawbook.online/sovetskoe-zakonodatelstvo-kniga/ustanovlenie-ottsovstva-40762.html, https://www.lawmix.ru/docs_cccp/3096, https://ru.m.wikisource.org/wiki/Указ_Президиума_ВС_СССР_от_14.03.1945_о_порядке_применения_Указа_Президиума_Верховного_Совета_СССР_от_8_июля_1944_г._...
• При наличии доказательств совместного проживания на 1950 год приложил бы их к объяснению. Это могут быть выписки из похозяйственных книг, выписки из актовой записи о браке, где указано число совместных детей, справки о составе семьи из комендатуры и т.п.
• Подумать о ДНК тесте, если есть родственник, с которым его можно провести и происхождение которого не вызывает у BVA сомнений. Не факт, что понадобится, но вероятность есть.