Заявление это антраг.
"Справки о подаче антрага "Загсы в Германии не выдают и не заверяют.

Erklärung это тоже заявление , и справку о его подаче и BVA и Standesamt заверяют .

Не верно.
BVA не только "принимает заявление", но и осушествляет ДОКУМЕНТАЛЬНО изменение ФИО
Об этом совершенно однозначно написано в законе ( в первом абзаце).

Ещё раз ..

об этом совершенно конкретно в первом абзаце речь идёт :

(1) Vertriebene und Spätaussiedler, deren Ehegatten und Abkömmlinge, die Deutsche im Sinne des Artikels 116 Abs. 1 des Grundgesetzes sind, können durch Erklärung gegenüber dem Bundesverwaltungsamt im Verteilungsverfahren oder dem Standesamt ....

А о том, что bva может осуществленные ими изменения beglaubigen und beurkunden, написано во втором абзаце

И во вторм абзаце речь идёт исключительно об Erklärungen :

".. 2) Die Erklärungen nach Absatz 1 müssen öffentlich beglaubigt oder beurkundet werden, wenn sie nicht bei der Eheschließung gegenüber einem deutschen Standesamt abgegeben werden. .."