Конкретно по вашему случаю. Возможно, вас обслужили в частной, а не государственной клинике или не захотели возиться со взаимозачётами, так как деньги за таких пациентов приходят в следующем отчётном периоде. Для общего развития и на будущее проконсультируйтесь у вашей КК по действию вашей карты. А сейчас уже придётся оплатить счёт, затем ваш муж приходит в страховую (может и онлайн можно), заполняет бланк (описание случая, конто данные, подпись), показывает счёт, с которого снимают копию, потом через пару недель присылают уведомление о полном или частичном возмещении, затем переводят деньги.

Мне не понятно, что за выбор по тарифу австрийскому или немецкому вам предоставляется. Если госклиника, то по идее срочные случаи в EU возмещают полностью, если частная клиника, то пересчитают по немецким ценам и возвратят часть, а по остатку пишете письмо в свою дополнительную страховку и она, согласно своим правилам (может быть Selbstbeteiligung), делает полное или частичное возмещение остатка. Это из личного опыта с ТК по Notaufnahme с Турцией, которая хоть и не в EU, но у ТК с ней специальные соглашения. У нас полного возмещения не было, так как была частная клиника, зато в соседнем здании, а остаток получили от Reiseversicherung за исключением 100 евро Selbstbeteiligung.