Я уже трижды оформляла дочери загранпаспорт в российском консульстве. У дочери московская прописка (мы её там сами прописали при том, что родилась она в Германии), загранпаспорт каждый раз оформлялся минут за тридцать с момента входа в консульство и до получения паспорта на руки. Всё так просто и быстро по той причине, что ребёнку ещё нет 14-ти лет. Вот следующий загранпаспорт уже без внутреннего сделать нельзя будет (именно по причине того, что ребёнок будет старше 14-ти лет, и наличия у неё российской регистрации). И мне плевать, что там вам кто-то грубо сказал. Паспорт предназначен для использования внутри России, значит внутренний. Загранпаспорт точно также является паспортом РФ, но уже, так сказать, для внешнего употребления. На консульском учёте никто из нас не стоит и даже не собирается тудой вставать.

Что касается ТС, то удивительно, что консульство Азербайджана никак не регистрирует своих граждан. Хотя бы к родителям в паспорт могли бы тут рождённых детей вписывать. В моём понимание - это какой-то сюрр гонять людей с новорожденным из страны в страну за оформлением бумаг.