Попутно вопрос касательно консульских услуг - обязательно ли брать термин в "своем" консульстве? Имею ввиду, к примеру, новые Бундесземли должны обязательно в Берлине или в любом?

Сам я не пробовал ездить в сторонние консульства, только в берлинский, но на его сайте до сих пор висит в FAQ

Якщо в вас оформлений виїзд на Постійне місце проживання
(українською стороною проставлений штамп українською мовою «ПОСТІЙНЕ
ПРОЖИВАННЯ», і Ви не можете взяти термін на оформлення паспорта в
Посольстві в Берліні, ви можете:
1. Звернутися до однієї з п’яти дипломатичних установ України у ФРН
з питання оформлення закордонного паспорта (потрібна реєстрація)
https://online.mfa.gov.ua/
2.Звернутися з питання оформлення закордонного паспорта до
підрозділу ДМСУ в Україні. Оформити паспорт можна без прив’язки до
місця проживання, у зручному для вас підрозділі ДМС та отримати за
місцем оформлення.
3. Звернутися з питання оформлення закордонного паспорта до
підрозділу ДМСУ в Україні. Оформити паспорт можна без прив’язки до
місця проживання, у зручному для вас підрозділі ДМС та отримати в
зручній для вас закордонній дипломатичній установі. Детальніше: https://germany.mfa.gov.ua/konsulski-pitannya/pasportni-di...

В личной переписке вот эта милая дама подтвердила, что оформляла ЗП во Франкфурте вместе с подругой, которая живет в Naumburg и которой с географической т.зр. нужно было бы ехать в Берлин.