Моя Au-pair семья предложила мне пригласить мою маму на лето к нам в гости. С чего надо начинать? Куда обратиться и какие заявления написать?
Можно уже сейчас оформить приглашение, чтобы она летом приехала?

Никакие заявления писать не надо, просто пойти в нужную контору (в разных городах по-разному называется) и сделать приглашение.
Я бы в новом году весной делала бы, зачем сейчас-то?

Приблизительно та контора, где я визу получала свою?

Даже не примерно, а в той самой конторе .