Здравствуйте! В связи с моей болезнью,моей жене продлили в Äusländerbehörde на 3 месяца мультивизу, выданную в Украине. Подскажите пожалуйста, возможно ли в этот период моей жене выехать на территорию Украины и снова вернуться в Германию?

Выехать можно. А вот насчёт въехать... Не любят они тех, кто визы продляет - всё равно по какой причине. Но ведь сейчас вроде визы украинцам уже и не нужны? Хотя всё равно на границе могут тормознуть, если в список внесли... В общем, пробуйте.

Можно даже попробовать остаться жить в Германии, на основании болезни.

Пробовать можно. Остаться - вряд ли.

моей жене продлили в Äusländerbehörde на 3 месяца мультивизу, выданную в Украине.

Вас обманули. Украина не выдает мультивиз для пребывания кого-либо, в т.ч. и чьих-либо жен, в Германии.

Подскажите пожалуйста, возможно ли в этот период моей жене выехать на территорию Украины и снова вернуться в Германию?

Выехать из Германии и за пределы ШЗ ей конечно можно. Причем лучше не выехать, а вылететь прямым рейсом, без транзита. Иначе схлопочет депорт где-нить у поляков, несмотря на все "продления в АВН", и о "снова вернуться в Германию" можно будет надолго забыть. А въехать обратно в ШЗ она сможет в соответствии с правилом "не более 90 дней пребывания в течение предыдущих 180 дней".