Под заявлением Вы имеете в виду полный пакет документов вместе с фотографией и Antrag-ом?

Достаточно будет одного Antrag'a, но можете и отправить полный пакет документов, если хотите.

Имеет ли смысл снова лично прийти туда и настаивать на своём?

Нет.

Есть ли закон, обязующий их принять документы, на который я могу сослаться?

Чёткого закона нет, это базовый принцип правового государства. Можете попробовать сослаться на §24 Abs. 3 VwVfG, правда, это не совсем то, что нужно Вам в Вашей ситуации.

имеет ли значение, будет ли пакет документов актуальным/полным, если отправлять его заказным письмом?

Нет, см. выше.

Главное, чтобы у меня было подтверждение того, что АБХ приняли документы, так как в таком случае они обязаны принять решение, даже если это будет требование донести документы?

Да.

Если мне нужно будет донести документы, а ФБ уже не будет действителен (конец мая, к примеру), будет ли моё пребывание в Германии легальным?

Да.