обязательства платить за рассмотрение заявления сразу при его подачи у иностранцев нет

Насколько я понимаю прочитанное, важно, что заявление является "gebührenpflichtig", а когда будет произведена оплата, не так важно. Для простоты, если Вы пошлете бумажку в АБХ типа "ЗАЯВЛЕНИЕ НА ПРОДЛЕНИЕ ВНЖ. ПРОДЛИТЕ ВНЖ ПОЖАЛУЙСТА. ОЧЕНЬ ПРОШУ. СПАСИБО.", это не будет воспринято как подача заявления. Максимум, пришлют список документов или назначат термин. То есть, очевидно, подача по почте каких-либо бумажек не является панацеей. С какого момента и какое заявление считается принятым, я не знаю. Простой ответ - с момента термина. Поскольку личное собеседование является обычно предпосылкой для выдачи ВНЖ.

Опять же, мы обсуждаем подачу заявления в контексте §81 AufenthG - чего достаточно для продления действия текущего ВНЖ. Вы считаете неполное заявление уже поданным в этом контексте? Кажется, суд Берлина с Вами не согласен :). Но ни он, ни я, не являемся конечными инстанциями. Если есть какой-то контраргумент, милости просим.

В каком-то другом смысле выводы могут быть другие, тут я не спорю. В частности, письменно поданное полноценное заявление конечно является аргументом в пользу того, что несвоевременное продление ВНЖ случилось по объективным причинам. С другой стороны, если предпосылки для продления не выполняются, то ничего не поможет.