Хотел возразить на основании позиции Ausländerbehörde Берлин, что не станет нелегалом
https://www.berlin.de/labo/willkommen-in-berlin/termine/#P...

Ihr Aufenthaltstitel war an dem Tag der Buchung des Termins noch gültig?
Dann wird der Aufenthaltstitel im Bundesgebiet bis zum gebuchten Termin als fortbestehend betrachtet.
Dies gilt auch für die Nebenbestimmungen zu Ihrem Aufenthaltstitel. Das bedeutet, Sie können bis zum Termin weiter arbeiten oder studieren.
Wichtig: Voraussetzung ist, dass Sie zum gebuchten Termin kommen.
Reisen ins Ausland sind jedoch nur innerhalb der Gültigkeit des Ihnen zuletzt erteilten Aufenthaltstitels möglich.

Но погуглил, нашел решение суда
https://openjur.de/u/758403.html

Оказывается,

Der bisherige Aufenthaltstitel gilt vom Zeitpunkt seines Ablaufs bis zur Entscheidung der Ausländerbehörde als fortbestehend, wenn der Ausländer vor Ablauf seines Aufenthaltstitels dessen Verlängerung beantragt. Das ist hier nicht geschehen. Die Buchung eines Termins bei der Ausländerbehörde über die Online-Terminvereinbarung stellt keine Beantragung der Verlängerung eines Aufenthaltstitels dar (vgl. Verwaltungsgericht Berlin, Beschluss vom 28. März 2012 – VG 24 L 77.12 -; Oberverwaltungsgericht Berlin-Brandenburg, Beschluss vom 11. Mai 2012 – OVG 2 S 31.12/OVG 2 M 26.12 -). Der gebührenpflichtige Antrag auf Verlängerung des Aufenthaltstitels, also die gemäß § 81 Abs. 1 Satz 1 AufenthG erforderliche Mitwirkung des Ausländers an dem Erlass des Aufenthaltstitels erfolgt nämlich erst im Vorsprachetermin. Die Terminvereinbarung für die Vornahme einer Rechtshandlung stellt nicht bereits die Rechtshandlung selbst dar oder ersetzt diese. Das zeigt sich schon daran, dass es an einem Antrag fehlt, wenn der Ausländer nicht zum vereinbarten Termin erscheint oder zwar erscheint aber nicht die erforderliche Erklärung abgibt, in diesem Fall fällt auch keine Gebühr an. Vom Standpunkt eines verständigen und objektiven Erklärungsadressaten (§§ 133, 157 BGB) ergibt sich auch aus den Informationen zu den für die Beantragung und Verlängerung einer Aufenthaltserlaubnis erforderlichen Unterlagen, dass die Antragstellung erst in dem reservierten Termin erfolgen wird. Insofern ist allerdings der Hinweis des Antragsgegners zur Online-Terminvereinbarung (www.berlin.de/labo/auslaender/ dienststelle/auslterminvereinb_de.html), dass der Aufenthaltstitel, der noch nicht abgelaufen sei, mindestens bis zum gebuchten Termin bestehen bleibe, ungenau. Mit der Online-Terminvereinbarung will der Antragsgegner nämlich nicht die formlose und fristwahrende Online-Antragstellung ermöglichen. Es soll allein dem Umstand Rechnung getragen werden, dass aus organisatorischen Gründen nicht immer zeitnahe Termine vergeben werden können. Um Rechtsnachteile für den Ausländer zu vermeiden wird bis zum Vorsprachetermin die Fortdauer der Gültigkeit des Aufenthaltstitels angenommen. In der Sache sichert der Antragsgegner damit dem das Online-Terminvereinbarungsverfahren nutzenden Ausländer zu, nach § 81 Abs. 4 Satz 3 AufenthG zu verfahren, sofern im rechtzeitig reservierten Vorsprachetermin ein Antrag auf Erteilung oder Verlängerung der Aufenthaltserlaubnis gestellt wird.

§ 81 A. 4 S. 3 это

Wurde der Antrag auf Erteilung oder Verlängerung eines Aufenthaltstitels verspätet gestellt, kann die Ausländerbehörde zur Vermeidung einer unbilligen Härte die Fortgeltungswirkung anordnen.

То есть берлинский АБХ в своем духе считает свою занятость "unbillige Härte" (как и в случае с вклейками в паспорт вместо карточек) и обещает всем, кто вовремя забронировал термин, индульгенцию. Судя по этому решению суда, никаких гарантий это обещание не содержит, и если АБХ решит, что его пытаются обхитрить, например, то оно свою индульгенцию забирает. Это волшебно.

Хочу заметить, что судя по этому же решению, тем не менее, письменное заявление до термина так же не является достаточным для полной легализации иностранца. Поскольку нужно еще заплатить за заявление, после этого только заявление считается официально поданным. И ТС так же станет "нелегалом" после 1го мая, как и без этого заявления по почте, и пойдет по тому же § 81 A. 4 S. 3. Единственный плюс, что если заявление будет полным (будет содержать все необходимые документы), то у АБХ не будет повода придираться к слишком позднему термину. Хотя они не будут придираться в любом случае, если с бумажками все в порядке, с письменным заявлением или без. Придираться начнут только если оснований для продления нет. По крайней мере в Берлине, в других землях могут быть другие правила.

В общем, лучше прорваться в АБХ до 1го мая от греха подальше.