регистрируются в ауслендерамте, получают карту , и можно идти работать

Право на работу дает не карта, а статус.

Die drittstaatsangehörigen Familienangehörigen eines Unionsbürgers erhalten von Amts wegen eine Aufenthaltskarte auf einem bundeseinheitlich vorgegebenen Vordruck (§ 58 Satz 1 Nummer 13 i. V. m. Anlage D15 zur AufenthV). Die Aufenthaltskarte ist deklaratorisch, d.h. das Freizügigkeitsrecht entsteht originär durch das Unionsrecht und nicht durch die Ausstellung einer Aufenthaltskarte. Sie dient dem Nachweis des Aufenthaltsrechts und ermöglicht eine visumfreie Einreise in die Mitgliedstaaten (vgl. Nummer 2.4.3).

Карту имеют право делать до 6 месяцев. Это не значит, что человек все это время не имеет права рпботать.

5.1.3Die Aufenthaltskarte ist innerhalb von sechs Monaten, nachdem der Familienangehörige die erforderlichen Angaben gemacht hat, von Amts wegen auszustellen (Umsetzung des Artikels 10 Absatz 1 Satz 1 Freizügigkeitsrichtlinie). Eine Bescheinigung darüber, dass die für das Verfahren erforderlichen Angaben gemacht wurden, wird unverzüglich ausgestellt. Einen bundeseinheitlichen Vordruck für diese Bescheinigung gibt es nicht. Die Bescheinigung kann mit folgendem Text ausgegeben werden: „Der Inhaber/die Inhaberin dieser Bescheinigung hat als Familienangehöriger eines Unionsbürgers die Angaben gemacht, die für die Ausstellung der Aufenthaltskarte erforderlich sind.“

Нужно попросить в АБХ подтверждение о праве на работу.