В ответ на:

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В AuslG этого не записано.

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В прямом смысле - с указанием конкретных сроков - действительно нет. Однако AAH-SDÜ в разделе 2.4. "Visumverlängerung" ссылается на ╖13 AuslG и другие параграфы.

В ответ на:

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В любом случае речь может идти не о праве гостя пребывать меньше 3х месяцев, а только об отсутствии права пребывать больше этого срока... Это как говорится две большие разницы...

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Конечно, это две разницы, но что не запрещено, то разрешено. Нет права пребывать больше, есть право пребывать "меньше или равно". Конечно право в смысле возможности.
Сказаное сотрудницей Ausl-A меня озадачило. Я еще не выбрался с ней погутарить и посмотреть на их руководящие документы, но нижеследующее никоим образом не ограничивает право Ausl-A продлевать визы без консультации с представительством своей страны, выдавшим визу:

2.4.2 Verlängerung des Schengen-Visums
2.4.2.1 Die Ausländerbehörde kann ein Schengen-Visum (Kategorie C), das von einer
deutschen Auslandsvertretung oder einer Auslandsvertretung eines anderen Schengen-
Staates erteilt worden ist, im Bundesgebiet nach Ermessen als Schengen-Visum für eine
Aufenthaltsdauer bis zu drei Monaten pro Halbjahr, auch mehrfach, verlängern (siehe
auch Nummer 2.4.2.5). Die Bestimmung der generellen Gültigkeitsdauer (pro Halbjahr,
pro Jahr und mehr) bleibt der Auslandsvertretung vorbehalten. Ein Visum der Kategorie
└C1⌠ kann über 30 Tage hinaus als Visum der Kategorie └C2⌠ verlängert werden.
2.4.2.2 Die Verlängerung eines Schengen-Visums kommt nur unter den Voraussetzungen für
die Erteilung eines Schengen-Visums in Betracht (Artikel 15 SDÜ in Verbindung mit
Artikel 5 Abs. 1 Buchstaben a, c, d und e SDÜ und ╖ 13 Abs. 1 AuslG), wenn
Versagungsgründe nicht entgegenstehen (╖ 7 Abs. 2, ╖ 8 AuslG) und an der
Rückkehrabsicht des Ausländers keine Zweifel bestehen. Der Verlängerungsantrag ist
gemäß ╖ 70 Abs. 1 AuslG zu begründen. Bei der Verlängerung ist insbesondere zu
prüfen,
2.4.2.2.1 - ob die Voraussetzungen für einen gesicherten Lebensunterhalt einschließlich
ausreichendem Krankenversicherungsschutz des Ausländers erfüllt sind (Artikel 5 Abs.
1 Buchstabe c SDÜ, ╖ 7 Abs. 2 Nr. 2 AuslG) und gegen ihn keine Ausschreibung zur
Einreiseverweigerung besteht (Artikel 96 SDÜ) und
2.4.2.2.2 - ob Tatsachen geltend gemacht werden, die eine Verlängerung des Visums wegen
wichtiger persönlicher Belange (z.B. Krankenhausbehandlung, familiäre Hilfeleistung,
Todesfall eines nahen Verwandten, Termine bei Gerichten und Behörden), aus
humanitären Gründen oder wegen höherer Gewalt rechtfertigen. Bei Besuchsreisen zu
Verwandten ist ein den Belangen des Einzelfalls angemessener Maßstab anzulegen (z.B.
Grad der Verwandtschaft, Verfestigung des Aufenthalts des im Bundesgebiet lebenden
Ausländers).
2.4.2.3 Bestehen begründete Zweifel, ob der Ausländer über ausreichende Mittel zur
Bestreitung des Lebensunterhalts für den weiteren Aufenthalt im Bundesgebiet verfügt,
hat er vor der Verlängerung eine Erklärung nach ╖ 84 Abs. 1 Satz 1 AuslG vorzulegen
(╖14 Abs. 1 Satz 2 AuslG).

Как видно по 2.4.2.1, именно Ausl-A продлевает визы категории "С" по своему усмотрению. Дальнейшие пункты говорят, какие условия для продления должны выполняться. Прежде всего те же, что и для получения визы. Требуется, однако, и указание причин для продления. И если для родственников (по крайней мере пункт 2.4.2.2.2 в интерпретации, скажем, Сената Бремена сформулирован весьма многообещающе как Bei Besuchsreisen zu Verwandten ist unter Berücksichtigung des Einzelfalls ein großzügiger Maßstab anzulegen.) перспектива продления выглядит неплохо (что я в свое время и наблюдал на примере моей мамы), то к сторонним лицам Ausl-A будет подходить весьма строго.
Поэтому мне и было бы интересно, как адвокат из Франкфурта по имени Анатолий будет обосновывать продления для случая неродственников, и чем с другой стороны будет обосновывать сотрудница Ausl-A запрет продлевать визы вообще.