не соответствует действительности

Я же написал, что это возможный взгляд на ситуацию, который привёл к этим проблемам.

Вообще, в действиях АБХ и пограничников явные противоречия, что однозначно в пользу ТС играет. Если только по сути никто вникать не будет, осудят автоматом заочно, то может быть нехорошо. Надо ТС все же найти нужные контакты и осведомиться о ходе дела. По хорошему, раз она сама в Германии быть не может, надо уже нанимать адвоката. Но если денег нет, для начала запросы в соответствующие органы направить. Может сын этим заняться, он же немец

Ей выдали визу. Виза - это AT, но это не AE. AE автоматом или нет, но выдаётся до достижения 18 летнего возраста. Она подала после. После 18 летнего можно продлить AE, а не визу. Я не понимаю, как это у Вас работает.
И заявление она как раз на Erteilung der AE подавала, а не на Verlängerung. Намерение отказать выглядит вполне закономерным

не выглядит. в случае въезда для воссоединения, зависящего от возраста, выполнение возрастной предпосылки проверяется на дату подачи заявления на визу.

иначе было бы, например бессмысленным выдавать визу после наступления совершеннолетия ребенка (что также случается). человек ведь подает на визу, а не на ВНЖ, исключительно из-за того, что проживает не в Германии, а за ее пределами. поэтому первый ВНЖ - это по сути продолжение визы (в выдаче которой ABH тоже участвовала).

Я же написал, что это возможный взгляд на ситуацию, который привёл к этим проблемам.

это, учитывая все известные нам обстоятельства дела, совершенно невозможный взгляд на ситуацию.

Вообще, в действиях АБХ и пограничников явные противоречия, что однозначно в пользу ТС играет. Если только по сути никто вникать не будет, осудят автоматом заочно, то может быть нехорошо. Надо ТС все же найти нужные контакты и осведомиться о ходе дела. По хорошему, раз она сама в Германии быть не может, надо уже нанимать адвоката. Но если денег нет, для начала запросы в соответствующие органы направить. Может сын этим заняться, он же немец

да она может назначить сына своим доверенным лицом в суде и отозвать доверенность, выданную на незнакомого ей человека.

Но разве мое пребывание в Германии на основании писем ABH с указанными сроками пребывания не давало мне право легально находиться в стране?

Давало. Находиться в Бундэсгэбит, дожидаясь готовности еАТ, и пересекать его границу - это две разные разницы, которые многие делают вид, что не понимают. И пытаются проскочить через кордон налегке, с шашкой наголо. Поэтому ситуация и получается типовой, до мельчайших подробностей. Вам следовало не пожалеть пары кипюр, раз уж решили выезжать, и настоять в АВН на оформлении "настоящей, стандартной", хоть и платной, FB по § 81 Abs. 3 AufenthG. Которая дает возможность беспроблемно выехать с просроченной визой, но не дает возможности въехать обратно (Вам оно, то "обратно" и не требовалось). А не довольствоваться дармовой "самопальной" VB, которой вполне достаточно для сидения на попе ровно, но от которой на паспортном контроле толку ноль.

Ну, о таком документе мне, к сожалению, тоже ничего не известно.

Теперь будет известно. За учебу надо платить. Выглядит вот так:

Для Вашего случая должен был быть анкройцнут верхний квадратик на стр. 3 или (при дальнейшем развитии событий) средний.

Если бы в визе или еще где то значилось обязательство въезжать до исполнения 18 лет ребенку

Такого "обязательства" нет и быть не может. Когда хотите тогда и въезжайте, в пределах срока действия визы. Хоть в первый день, хоть в последний. Хотите опаздывать - опаздывайте. А хоть и вообще не въезжайте. Дело хозяйское. Полученная и неиспользованная виза сдаче и возврату уплаченных за нее денег все равно не подлежит.

Или только с адвокатом?

Не обязательно. Можно и самостоятельно. А можно и ему поручить, выяснить есть ли информация о Вас в SIS.