Сначала Вы смотрите, что у Вас там за Wohnsitzauflage. Они бывают временные, если время прошло , то это и основание ее вычеркнуть.
Если не временная, то основание - переезд пожилых родителей поближе к детям с целью взаимопомощи. Это тоже основание.

Насколько я понимаю, АВH по месту прописки будет параллельно запрашивать разрешение у АВH целевого города. Поэтому, я думала отослать и туда заявление.

Что-то новое.

Если Wohnsitzauflage уже нет/ сняли, то идете и прописывайтесь по новому месту жительства. ABH не при чем. За исключением тех городов, где иностранцев прописывают в том же здании, где сидит ABH.

Иногда люди отправляют кучу заявлений не по адресу и рискуют при этом получить отрицательный ответ. А вот получить Pflegegrad стоит как раз для подтверждения необходимости ухода. И самая большая проблема - поиск подходящего жилья. Если нашли жилье и согласны оплатить сами переезд, то никаких больше особых разрешений не требуется.