Недавно сменил фамилию и в данный момент имею старый (аннулированный) загранпаспорт на старую фамилию, привязанный к нему eAT (elektronischer Aufenthaltstitel) также на старую фамилию, и новый загранпаспорт. Готовы все документы для подачи на гражданство, и не хотелось бы ждать 5 недель, пока сделают новую карту eAT.

Как вы считаете, могу ли я подать на гражданство с тем eAT, что у меня сейчас на руках (т.е. на старую фамилию и привязанным к аннулированному загранпаспорту?

p.s. На всякий случай уточню: подавать я буду (т.е. указывать в заявлении) под новой фамилией.

Конечно, нет. У вас должны быть новые документы, но нужно предупредить, что была смена фамилии.

Как вы считаете, могу ли я подать на гражданство с тем eAT, что у меня сейчас на руках (т.е. на старую фамилию и привязанным к аннулированному загранпаспорту?

Видела такой случай, когда женщина сменила фамилию прямо перед подачей на гражданство. У неё при подаче был старый загранпаспорт на старую фамилию, новый загранпаспорт на новую и NE на старую фамилию. В ЕБХ документы приняли, но сказали обязательно прислать им копию новой карточки, как только она дойдет. Что и было сделано.
Как посмотрят на такую ситуацию в Вашем городе, сказать не берусь, но попробуйте поговорить с ними. Если ВНЖ бессрочный или действует еще несколько лет, то, может быть, и разрешат подать документы с условием, что копию новой карточки eAT Вы предоставите, когда она будет на руках.