Напишу апдейт по ситуации, вдруг кому-то пригодится.

Я обратилась в Techniker, объяснила ситуацию и спросила, что нужно сделать. В первый мой визит сотрудница запросила для меня Sozialversicherungsnummer (пришел по почте через 3 недели), сказала, что первые 3 месяца я как поздняя переселенка застрахована, а как только начну работать работодатель сам будет перечислять им взносы, с моей стороны нужно только сказать работодателю название страховой при устройстве и больше ничего делать и оплачивать не нужно.

Спустя какое-то время по почте от них пришел Mitglied­schafts­an­trag по почте с предзаполненными данными, хотя сотрудница не упоминала об этом. Я не знала, как именно в моей ситуации его нужно заполнить, поэтому решила с этим антрагом съездить к ним ещё раз. Во второй визит заполнили антраг (уже с данными о работодателе, я успела подписать рабочий контракт к этому моменту), другая сотрудница сказала, что она проверит, нужно ли в моём случае что-то делать со страховкой на период от регистрации до даты начала рабочего контракта, и если да - то мне пришлют счёт за Privatversicherung за эти месяцы.

т.е. примерно так, как было описано в сообщении #16.