Добрый день.

Я слышал от знакомого, что человек, который работает как Angestellten, может еще на стороне помогать в не рабочее время другим и выставлять за это счета. Чтоб это всё проходило официально, через Finanzamt.

Если это на самом деле возможно, то как это оформляется и называется?

Заранее благодарю за дельные ответы.

это называется Gewerbe и оформляется в Gewerbeamt-е или Ordnungsamt-e по месту жительства.

Оформляющий документ называется Gewerbeanmeldung

А как это выглядит со страховками. Если работать по найму, то работадатель перенимает часть и часть идёт с зарплаты.

А в этом случае, вроде как дополнительный доход, но всё уже удерживают с зарплаты

Кроме регистрации самозанятости обычно нужно ещё разрешение от работодателя.

При определённых условиях появляется обязанность отчислений в страховки. Но если самозанятость считается подработкой, то вроде отчислений платить не надо.

Задайте в поисковик nebenberufliche Selbstständigkeit и Krankenversicherung или Rentenversicherung и читайте.

не обязательно гевербе, можно быть Freiberufler. От профессии зависит

если небенберуфлих не превышает нетто доход от найма (доход, т.е. оборот минус расходы) то страховку доплачивать не надо. Но эти правила лучше уточнить в самой страховой. Но это решаемо.
А если по гевербе минус, то еще и вернут налоги уплоченные в найме ;)