Работа не была выполнена в срок (согласован в телефонном разговоре). От услуг такого исполнителя отказались. Теперь пришел счет, в котором требуют оплатить подготовительные работы (переписка и т. д.) В письме ссылаються на клиентский договор, но не помню чтобы его подписывали.

Имеет ли право требовать оплату подготовительных работ, если сама работа не выполнена в срок?

Имеют. А вы имеете право посмотреть в договор и почитать, что там стоит про условия оплаты и сроки.

Вы же сами отказались от продолжения работ.