Источники вы сами дали, только интерпретируете их неправильно.

Это верно, поэтому за май ничего возвращать не надо.
А надо за июнь:
Mai ALG II Juni plus Eingang Lohn/Gehalt = ALG II wird angerechnet.

Ещё один юрист считает (устно было сказано, в Инете этого нет), что если ALG II получено в конце мая на июнь, а первая зарплата поступила вам в руки 28 июня (тоже за июнь), то по закону вы обязаны вернуть ALG II только лишь за остаток месяца - дни, начиная с 28 июня, т.е. с того дня, когда вы фактически получили первую зарплату.
Но доказать это сложно, поскольку JC везде и всюду нарушает законы и пытается любыми способами вытянуть свои деньги.
Что касается этой modifizierte Zuflusstheorie SGB II, то там всё до сих пор неоднозначно и трактуется по-разному. Я думаю, это было сделано намеренно, чтобы оставить чиновникам возможность поступать в интересах финансов, а не в интересах получателей ALG II.

Честно говоря, я до сих пор не уверен, как должно быть правильно. С этим Zuflussprinzip всё довольно скользко.
Есть такое ощущение, что JC обманывает и интерпретирует в свою пользу.

почитайте топик ещё раз, в нём куча верных ответов.
с объяснениями.

Вставлю свои " 5 копеек" 15.08. придет последняя зарплата. и если я правильно поняла то 01,08 придет первое перечисление АЛГ-1, придется ли потом возвращать сумму за август.? или такая " математика" только при АЛГ-2

Неправильно поняли.

))))ох нет сейчас доков под рукой . я бы перечитала))) а как будет то ?

У выплат АЛГ-1 принцип такой же, как и обычной зарплаты - то есть за прошедший период. Это не социальные выплаты, которые выплачиваются "авансом", на предстоящий период.