Получил письмо в котором стоит: что так как мои заработок сейчас довольно хороший , обязан выплатить алименты с 2004 года . Имеют ли права или только за последние 3 года ?

А от кого письмо?

раньше не платили или только часть?

повезло тебе - ты должен быть в п.2:
§ 197
Dreißigjährige Verjährungsfrist
(1) In 30 Jahren verjähren, soweit nicht ein anderes bestimmt ist,
1. Herausgabeansprüche aus Eigentum, anderen dinglichen Rechten, den §§ 2018, 2130 und 2362 sowie die Ansprüche, die der Geltendmachung der Herausgabeansprüche dienen,
2. (weggefallen),
3. rechtskräftig festgestellte Ansprüche,
4. Ansprüche aus vollstreckbaren Vergleichen oder vollstreckbaren Urkunden,
5. Ansprüche, die durch die im Insolvenzverfahren erfolgte Feststellung vollstreckbar geworden sind, und
6. Ansprüche auf Erstattung der Kosten der Zwangsvollstreckung.
(2) Soweit Ansprüche nach Absatz 1 Nr. 3 bis 5 künftig fällig werdende regelmäßig wiederkehrende Leistungen zum Inhalt haben, tritt an die Stelle der Verjährungsfrist von 30 Jahren die regelmäßige Verjährungsfrist.
а так - теперь 3 года...

jugendamt

платил сколько мог ( по их ним расчетам ) , пару лет освобождали - так как заработок не позволял

читай выше и пиши видершпрух... 3 года сейчас.