Если престарелому родителю вдруг сделалось плохо, то имею ли я право взять отпуск на несколько дней (что б помочь или навестить его), или больничный ?
Родитель проживает в другой стране (в США)....
Обращаться к врачу или к работадателю ?

По закону дополнительный отпуск на три дня положен только на свадьбу или на похороны (тьфу-тьфу-тьфу) близких.
Больничный по уходу вряд ли дадут, во всяком случае я о таком не слышала. Но вообще всё решается с работодателем.
Мне, например, на одной фирме дали три дня на золотую свадьбу родителей, а на другой даже на свою собственную за счёт отпуска пришлось идти.

Если бы Ваш родитель жил в Германии то Вы бы имели право на Pflegezeit
В Вашем случае только отпуск

По какому закону?
Нет такого закона. Сами же пишите, что

А если работадатель противится ?
Я не против взять отпуск (есть его много, и даже если за свой счет - тоже не страшно) . Вопрос только, что это нельзя отложить.
И если работадатель скажет нет, что это твои проблемы, а я таки поеду, то может ли уволить за нарушение дисциплины ? И что делают в таких случаях ?

может, т.к. Ваш родственик живёт не в Германии. то требовать Pflegezeit Вы не можете
Остаётся только договориться полюбовно

Конкретно на три дня дополнительного отпуска нет, а на Verhinderung aus persönlichen Gründen- § 616 BGB.
Только кто же, работая в маленькой частной фирме, будет бодаться и портить отношения с шефом из- за пары дней.

конечно я знаю про этот закон
просто тут иногда утверждают, что положенно на свадьбу, на переезд и т.д. и всё законно. А это напрямую зависит от рабочего договора каждого отдельного предприятия.
Мне на руки договор попался, что § 616BGB не действует. И на этом предприятии не платили деньги, если рабтник сидел дома с больным ребёнком младше 12 лет. Исключили этот параграф и всё тут.

но это же не законно