отец моего ребенка подал в суд на получение Зоргерехт. Если он его получит, то что нам с сыном ожидать? И вообще какие критерии есть для его получения?

а почему у него нет прав на ребенка? вы не были расписаны?

не были

ну тогда у него появятся не толъко обязанности по отношению к ребенку, но и права.
например umgangsrecht.

Он Вам может не разрешить переехать за 600 км к Вашему французу. Ну если только Вы за этого полунемца-полуфранцуза замуж не выйдете...
Или у Вас уже есть более близкий территориально вариант??

переезд уже состоялся

И права и обязанности появятся. Он в ребенка признавал или нет? Если нет, то получить Sorgerecht не так просто.
Если переезд уже соостоялся, то очень важно, чтобы у ребенка на новом месте жительсва появился новый круг общения и он уже ходил в школу и секции.