все зависит от хозяина квартиры!

Как захочет. Может новый договор сделать, а может и за дверь выставить

Как уже ответили смотреть на реакцию собственника. Выставить на улицу не так просто, как Вы думаете, но и прав оставаться на старых условиях у Ваших родителей нет никаких.

Юридически 31.03.2023 Ваши родители обязаны отдать ключи и передать под протокол квартиру.
Они не уехали. Собственник начинает процесс выселения по суду с перекладыванием всех затрат на родителей. И суд это решение утвердит 100%. Весь период проживания с 1.04. до выселения так же пойдёт оплатой, как и пользование водой и отоплением.

Мирное решение - на условиях владельца недвижимости оставаться, пока не найдётся желаемый объект с перенятием всех затрат. Тут зависит от наглости собственника и реальной платёжеспособности родителей.
Конфликтное решение - сидеть до последнего, а там как карта ляжет. Но выселение по суду - это всегда четырёхзначная цифра. Быть готовым.

Моё предложение. Заранее оповестить владельца, что найти жильё не смогли и попросить на его условиях остаться ещё на…

Не получилось через …? Повторить.

А откуда взялось 31.03. И 1.4?

От балды для наглядности.

Спасибо!