Добрый день.
С полученным в Дании интернациональным свидетельством (одним из выданных вам двух) идёте в Миграционную службу (Ausländerbehörde — ABH) в своём городе или в ближайшем крупном, если в вашем нет. Подаёте запрос на получение временного вида на жительство в Германии. Скорее всего, вам скажут всё же выезжать и подавать на восстановление, но не всегда.

Чтобы увеличить шанс на то, чтобы вам разрешили сразу после свадьбы остаться в Германии, при походе в ABH лучше подготовиться: взять с собой любые документы, показывающие ваше (или супруга, а лучше обоих) материальное положение (+трудоустройство) на данный момент, договор об аренде/наличии в собственности места жительства, подтверждение уровня немецкого языка с вашей стороны хотя бы A1.

Если вам всё же говорят, что необходимо выехать из Германии в Каз., вам необходимо получить апостиль на свидетельство о браке, по выезду предъявить свидетельство в родной стране и подать необходимые документы для воссоединения семьи (Familienzusammenführung). В среднем такое восстановление семьи занимает около 1-2 месяцев, но может длиться и меньше/дольше.

Фамилию в Дании при регистрации брака поменять невозможно. Это можно сделать только либо в родной стране при предъявлении свидетельства, либо после переезда в Германию, на территории Германии в ЗАГСе по месту жительства.

Успехов вам!