Расскажите, пожалуйста, как происходит процесс получения самого AE в Германии. Вот я, допустим, получила трехмесячную визу в Москве. Мой муж может уже сделать термин в ABH на получение AE? Или мне самой нужно туда идти? Опишите, пожалуйста, у кого как было.

Прописка.
Поход в АБХ за антрагом АЕ.
Поход в КК супруга и постановка/получение карточки мед. страхования.
Если в АБх мужа приёмы строго по терминам, можно уже назначить. Вообще-т в АБХ ходят вместе-- требуется подпись второй половины на Eheerklährung.

Мы страховку на меня оформляли до похода в АБХ, сразу после прописки меня у мужа.
И в АБХ ходили за AE вместе.
Не знаю, какие "тараканы в голове" у ваших чиновников в АБХ, но думаю, все это лучше выяснить, позвонив туда.

в нашем АОК без АЕ нельзя получить карточку мед. страхования.

Понятно... А в нашем можно.
Опять же, видимо, все зависит от Земли, города, чиновников и т.д.