Скажите, abitur или school-leaving certificate - это наш аттестат школьный? или нет? Я заканчиваю вуз в Москве и думаю, нужно ли будет подавать кроме аттестата еще и диплом?

для т.н. абитура надо будет и диплом подавать, да. Вместе с аттестатом.
Одного школьного аттестата маловато для учебы в универе будет.