Подскажите, пожалуйста, верные предлоги места в данных случаях.

1. Я на катке (имеется в виду закрытое помещение) в Амстердаме

2. Я кормлю слонов в зоопарке

По-видимому, в обоих случаях можно at.

We use at:

• to refer to a position or location which we see as a point:

I was sitting at my desk.

• to talk about locations at companies, workplaces when we see them as a place of activity:

How many people are working at Microsoft?

• to refer to activities which involve a group of people:

Were you at Lisa’s party? (also at the cinema, at the theatre)

• with school/college/university:

She always did well at school.

https://dictionary.cambridge.org/de/grammatik/britisch-gra...

в первом случае можно сказать on the skating ring ( внутри, катаетесь ), во втором at the zoo

Разговорный, но вполне легитимный.

С I - будет грамматически правильно всегда:

I am at the ski rink in Amsterdam.
I'm feeding elephants at the zoo.

С me сложнее. Например, it's me например - устойчивая разговорная конструкция, хотя грамматически корректнее было бы it is I, но так почти никогда не говорят.

По-поводу сокращений тоже верно. Есть еще женское движение Me too, с "кулстори" о домагательствах.
Там тот же принцип.