А как насчет того, что у меня паспорт не потерян, как того требует то же консульство по той же ссылке, а просрочен? Могут ли быть с этим проблемы?

Никаких проблем. Читаем регламент:

Круг заявителей:

4. При предоставлении Министерством иностранных дел Российской Федерации (далее - МИД России) государственной услуги заявителями являются обратившиеся с запросом о предоставлении государственной услуги:

1) гражданин Российской Федерации, утративший вне пределов территории Российской Федерации документ, удостоверяющий личность гражданина Российской Федерации за пределами территории Российской Федерации, в том числе содержащий электронный носитель информации (далее - паспорт (дипломатический паспорт, служебный паспорт));

2) гражданин Российской Федерации, у которого срок действия имеющегося паспорта (дипломатического паспорта, служебного паспорта) истек или паспорт (дипломатический паспорт, служебный паспорт) стал непригодным для использования вне пределов территории Российской Федерации;

3) гражданин Российской Федерации, проживающий за пределами территории Российской Федерации, которому отказано в оформлении (выдаче) паспорта (дипломатического паспорта, служебного паспорта) при наличии оснований для временного ограничения его права на выезд из Российской Федерации, предусмотренных статьей 15 Федерального закона от 15 августа 1996 г. N 114-ФЗ "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию";

4) лицо без гражданства, постоянно проживающее в Российской Федерации, а также лицо, признанное беженцем в порядке, установленном Федеральным законом о беженцах, утратившее вне пределов территории Российской Федерации документ, удостоверяющий его статус, либо у которого срок действия упомянутого документа истек или такой документ стал непригодным для использования.

(п. 4 в ред. Приказа МИД России от 19.10.2015 N 19794)