Рассказываю про свой опыт: Для получения паспорта в Беларуси достаточно съездить туда одному из родителей, ребенка везти не нужно. Соответственно в этом случае в посольстве нужно оформлять не выездное удостоверение, а нужно оформить согласие одного из родителей на выдачу ребенку загранпаспорта. Затем второй родитель едет в Беларусь, захватив с собой полученное согласие, свидетельство о рождении с немецким апостилем и паспортную фотографию ребенка (можно цифровую и попросить в беларуском фотоателье напечатать паспортный вариант). Там родитель переводит и нотариально заверяет свидетельство о рождении, прописывает ребенка в квартиру одного из родителей и получает паспорт. Теоретически паспорт можно сделать за один день и часто для этого не нужно никаких связей и взяток, проверено не раз на Центральном РУВД Минска. На практике конечно лучше позвонить заранее в свой ОГиМ и запланировать дня 4 - например во вторник сдал документы - в пятницу или субботу получил паспорт.
Если родители прописаны в Минске в разных квартирах, то ребенка можно вписать в квартиру где прописан отец только с письменного согласия матери. Если владельцем квартиры является третье лицо - то без его участия тоже наверное не обойтись.