Паспорт действителен еще долго, но закончились чистые странички. Что в этом случае нужно делать? Может ли консульство вклеить новые страницы (когда-то так делали) или нужно менять паспорт?

нужно менять паспорт (или продолжать жить с отсутствующими "чистыми страничками").

1. У меня нет места в паспорте для того, чтобы поставить штамп о пересечении границы (не суть важно какой именно). Паспорт действительный, виза есть. Я нарушил что-то? Нет. Какие действия пограничников?
2. Известно ли кому-то, можно ли клеить визы и ставить штампы на страницы 34 и 35 (сведения о детях), если те странички не заполнены? Можно ли клеить визы на заполненные страницы в паспорте?

Он у вас действительный и это не ваши проблемы куда они будут штамповать.
А почему нельзя? Точно не знаю, но кому нужны аэропортовские отметки.