Программа Thunderbird отображает на иконке количество непрочитанных писем, но если открыть программу, а потом свернуть, то цифра пропадает, даже если не все новые письма прочитала.

Можно сделать так, чтобы цифра на иконке оставалась до тех пор, пока все письма не будут открыты?

И еще вопрос, можно сделать так, чтобы программа проверяла почту сразу при выходе ноутбука из сна?

Есть настройка, какую цифру показывать на бэджике иконки - количество новых или непрочитанных сообщений. По умолчанию стоит новых. Переключите на непрочитанные.
В англоязычном вариате это Tools->Preferences->General->Incoming Mails->App Icon Options

С выходом из сна не уверен, что это вообще возможно. IMHO программы не в курсе, что система спала и проснулась.
Я бы просто поставил интервал проверки новой почты достаточно коротким (у меня установлено 10 мин). За время сна он наверняка пройдет и в течение короткого времени по пробуждении почта будет проверена.

Это Tools->Accout Settings->Server settings

Еще там же есть опция об уведомлениях со стороны сервера о приходе новой почты. Полезная, если ваш сервер это поддерживает. Она включена по умолчанию, но проверьте.

А как объединить разные почтовые ящики в одну почту входящих-отправленных? (Раньше у меня это получалось, а несколько лет тому назад они что-то сломали.)