Зайди к себе на ящик, где ты зарегестрирована и зайди там в настройки.
И просто укажи в настройках, чтоб письма оставались и не удалялись.
Так ты сможешь их всегда держать на сервере.

Кроме входящих писем в клиенте еще хранится исходящая почта, контакты и всякая разная информация.

Это настраивается в клиенте, а не в ящике.

Я "зарегистрирована" на собственном сайте. Я не могу держать на сервере все, что у меня есть в почте, потому что этого много, и потому что мне нужно держать место на сервере свободным, т.к. мне присылают работу, иногда очень объемную по почте.

Да, можно. Но все равно дропбокс для почты не самое удачное решение. Место занимается (пишут про объемные вложение) и придется туда-сюда эти вложения гонять.

н.п.
Может я тупая и ничего не понимаю , но как может исчезнуть почта ?? Ведь она хранится не на компе , а на том сервере , почтовым клиентом которым ты пользуешься .
Если сделать переустановку ОС , то комп всегда чист , ты вводишь пароль от своего почтового ящика и все письма там .
Я , например , нужные письма отправляю в специальную папку - пароли , и они всегда там .

Иногда на сервере, иногда на компьютере. А иногда и там и там. Как настроишь.
Вот вы когда переустановку делаете, у вас потом исходящая почта остается?

да, у меня все остается .. но я как -то не занималась этим вопросом , т.е . не обращала внимания .
В прошлом году переустанавливала комп , переживала , что исчезнет ключ , который я покупаю для лицензионной программы , он у меня был в письме присланном .. но все оказалось в порядке .

я пользуюсь телекомвским почтовиком.
В нём кнопка есть специальная "импортировать/архивиривать".
"Чик" и готова копия. Раз в месяц сама напоминает, что копию сделать бы не машало
(впрочем как настроишь).
Скачать можно с чипа, при установке выберешь лишь Е-Маил прогу и всё.
с тындырбёердом поигрался-поигрался да опять телекомовскую и вернул.
http://www.chip.de/downloads/T-Online-Software_13007779.html

Ну, мей би, но up to 8Gb нахаляву и не советовать же ей rsync и поиск места, куда складывать.

гугловская у меня только для архивации, я туда из основных ящиков почту перекидываю. На гугловской настроен IMAP, т.е. сообщения постоянно лежат там и загружаются на локальный комп только временно, по необходимости - только для прочтения, т.е. локально не складируются вообще.

Если я тут буду описывать подробно: типа клиент и всё такое. То многие смогут и не понять.
Я просто попытался по простому.
Из моего текста можно понять что речь шла о клиенте.

насчет тандебёрда не могу ничего сказать... пользовался только аутлуком и батом... остановился на бате... один из плюсов, что он не требовал установки на диск с, всегда можно было держать его (со всеми папками) на внешнем носителе...

есть Thunderbird Portable