Сроки и посещение родины
Вы должны подать документы в АБХ до окончания действия визы, дата получения еАЕ значения уже не имеет (оформляют от 4 недель до двух месяцев). Другой вопрос - успеете ли Вы оформить все документы и получить термин в АБХ, в некоторых городах это это небыстрый процесс (в АБХ можно договориться о продлении визы до термина, для этого надо туда прийти и объяснить ситуацию).
После получения еАТ можете ездить на родину и свободно возвращаться в шенгенскую зону, показывая пограничникам свой загран паспорт и еАТ, никаких дополнительных виз не надо. Если хотите ехать до получения еАТ, спрашивайте в АВХ временный документ.
Вам, вероятно, уже поздно, но для других - национальную визу не обязательно открывать "прямо сейчас", её можно открыть с любой даты в течение 3 месяцев после подачи документов, действовать она будет 90 дней с той даты. Мы подавали документы в июне, а визу запрашивали с 10 августа.