Ребенку ВНЖ выдается автоматически, без заявления

§ 33 Geburt eines Kindes im Bundesgebiet

Wenn zum Zeitpunkt der Geburt beide Elternteile oder der allein personensorgeberechtigte Elternteil eine Aufenthaltserlaubnis, eine Niederlassungserlaubnis oder eine Erlaubnis zum Daueraufenthalt – EU besitzen, wird dem im Bundesgebiet geborenen Kind die Aufenthaltserlaubnis von Amts wegen erteilt.

FB чисто гипотетически могут выдать (АБХ выдает их иногда даже когда не должно), но FB выдается по параграфу "§ 81 Beantragung des Aufenthaltstitels", а если заявления на AT нет и не требуется, то вроде как FB и не положено. Тем более, я не могу там найти 100% подходящего абзаца... Третий, может (выдача FB при подаче заявления на первый AT), если считать, что они "обрабатывают" Ваше заявление (хотя согласно закону это вроде не так). Но с 81.3 въезжать нельзя, как правильно говорят, только с 81.4 (продление AT).

Если АБХ именно из-за карточки так тупит, то всегда можно в виде исключения получить обычную вклейку ВНЖ по § 78a Vordrucke für Aufenthaltstitel in Ausnahmefällen, Ausweisersatz und Bescheinigungen. Это выглядит в данной ситуации гораздо более разумным, чем FB.