Не факт что вас именно туда распределят, но возможно...
Если бы у Вашего дедушки там жили близкие родственники, то шанс был бы повыше.

Начать искать квартиру можно хоть сейчас, но толку от этого не будет.
"По интернету" с Вами договор не заключат.
И начинать нужно после распределения, когда Вы будет знать на 100% где будете жить.

Оплачивать Вам будут по соц-нормам, для каждого города цена меняется.
Дедушка будет жить отдельно, Вы муж и ребёнок отдельно.
На Вашу семью допустимая норма (на 3х человек) - до 75м2, и сумма 542 евро "варм" (для Берлина).

C этим вопросом сложнее...
Чтоб после получения гражданства свободно перемещаться, нужно не быть зависимым от пособия.
Если же Вы всётаки будете получателями пособия, то Вам нужно сняться со всех учётов, выписаться и тд.
Но вот с квартирой в этом случае сложно...
Наврятли найдётся фермитер, которому будет интересно сдать квартиру на 3 месяца.
Если только будете снимать за свой счёт.
ПС: Вы реально хотите ездить туда-сюда с грудным ребёнком?