Да, забыл... на вскидку - (к) будет чуток меньше sqrt(2)/2...

Решение было дано - выведено трансцендентное уравнение, корень которого можно найти численно. Например, методом Ньютона.
Мне представляется, что иного варианта (в виде некоей простой формулы) в данном случае нету - в силу неалгебраичности выражения для площади сегмента. Я могу ошибаться, но пока никаких серьезных альтернатив предъявлено не было.

Да я, собственно, тоже так думаю. Даже уравнение вывел, от нечего делать.

в силу неалгебраичности выражения для площади сегмента
------
А нужно ли считать сегменты? И если - да - то какие?

Там все написано. И даже нарисовано.

Можно считать другие. Там - проще.

Где - там? И чем проще? Напишите уравнение, тогда будет, хотя бы, что обсуждать.

Так уровнение там всего одно - уравнение окружности - x^2 + y^2 + a*x + b*y + c = 0 или (x-a)^2 + (y-b)^2 + c = 0
Проблема же в том, что передлагается решить систему из двух уравнений... при трех (x,y, r(x,y)) 'переменных'.
Отсюда либо сложные итерационные расчеты r(x,y), либо... нужно ввести еще одно уравнение.
1. x^2 + y^2 - (100/2)^2 = 0
2. x^2 + (y-50)^2 + r^2 = 0
и привязали козу в другом месте
3. x^2 + (y+50)^2 + r^2 = 0
Три уравнения, три "переменных" - решается.
И по поводу других секторов/сегметов. На базе подсказки 3 - рассматривается не вся картинка, а только область возможных решений для х[0, r1). Дуга r2 должна где-то пересекать ось Х - это из равенства площадей - и тогда получаются три "кривых" треугольника:
- R2[0, x1], где y1=0
- R2[x1, x2], где y1=0
- R1[x2, r1]
ну и система доопредяется как
S(R2[0, x1]) = S(R2[x1, x2]) + S(R1[x2, r1])
Решаемо, но аналитически выводить несколько лениво...

ну эти два решаются мгновенно (PS: если длина верёвки вещественное а не комплексное число):
2. x=0, y=50, r=0
3. x=0, y=-50, r=0
Только я не понял какое отношение они имеют к задаче

если длина верёвки вещественное а не комплексное число
------
Она еще и не нулевая. Где-то между 1*r1 и sqrt(2)*r1... и близко к sqt(2)/2.
какое отношение
-----
Эээ... это та же "коза", но привязанная в другом месте. Ее ведь можно привязывать где угодно. Каждая привязка даст дополнительное уравнение. Но "решать систему" надо все же не в лоб - две пары уравнений при условии r2==r2...

какая коза? Я тебе решения для (2) и (3) написал, привяжи их к козе плиз.

не спорю

а вот тут не согласен. Каждая привязка даст доп. уравнение и доп. переменную, т.е. ничего

Эта, так называемая система представляет из себя две не имеющих отношения друг к другу системы уравнений.
1)
1. x^2 + y^2 - (100/2)^2 = 0
2. x^2 + (y-50)^2 + r^2 = 0
Одна пара точек пересечения.
2)
1. x^2 + y^2 - (100/2)^2 = 0
2. x^2 + (y+50)^2 + r^2 = 0
Совсем другая пара точек пересечения.
Все, у меня нет больше комментариев. Пушной полярный зверек, выведенный методом Монте-Карло...

Эта так называемая система не имеет никакого отношения к задаче, ИМХО.
А вообще такие задачи проще решать не с "r", "R" и "100", а с еденичной окружностью и одной переменной "R" - длиной верёвки козы, дающей площадь 0.5Pi

В общем, я понял. Вы не смогли вывести ничего аналитически, уравнения - пусть даже трансцендентного - не предоставили, но важно поучаете тех, кто таки-решил задачу, как ее правильно решать. Это прикольно, да.

Каждая привязка даст доп. уравнение и доп. переменную
------
Можно сказать и так.
Правда тогда придется вспомнить, что дополнительная привязка дает дополнительную переменную... и два уравнения. Один комплект Я опустил чтобы не усложнять понимание.
Конкретно в тех двух парах уравнений еще будет выполняться условие - (х1, у1) == (х1, -y1) - в силу симметричности при привязке (0,-50) и (0,50). Т.е. - решаемо.

две не имеющих отношения друг к другу системы уравнений.
------
Как выглядят решения - написано выше.

с еденичной окружностью и
-----
Потому его и просил упростить....

не смогли вывести
------
Вывод там, если отталкиваться от интегралов, на три листа. Считать его Я точно не буду.
Решил поискать более простое решение.

?
Я выразился достаточно однозначно - привязка козы в другом месте не даст ничего, поскольку получившиеся N уравнений (после удаления вырожденных) будут содержать N переменных.
Я кроме того так до сих пор не увидел, как твои уравнения относятся к задаче.

?
-----
Сколько всего "переменных"?
получившиеся N уравнений (после удаления вырожденных) будут содержать N переменных
------
Т.е. "система решается"... или все же где-то N-1 и надо использовать у' = -у'' ?