Получаю разрешение на работу. Возник вопрос - если через несколько месяцев я смогу найти лучшую работу, смогу ли я поменять работодателя с тем же самым разрешением на работу или нужно будет получать новое?

Смотря что в этом разрешении на работу будет написано.

Скорее всего надо будет новое разрешение

Можете подробнеее рассказать о том, что может быть написано в разрешении?
Как называется организация auslanderamt?
Не могу найти телефоны в Кельне.

можете подробнее рассказать о том, что написано в Вашем разрешении?

http://www.stadt-koeln.de/buergerservice/adressen/00083/

Если я правильно понимаю "Arbeitsgenehmigung", то я его получала в Arbeitsamte. И всё зависит от Вашей ситуации в Германии. В Вашей заявке всё написано. Если Вы живёте в Германии, то заполняете одну заявку и в ней будет написано "unbefristet" то есть работаете сколько хотите и где хотите. Но если же Вы приехали для работы. Тогда надо заполнять сколько будете работать и у кого. Если же Вы перейдёте на другую работу - тогда надо заново заполнять.

либо Вы неправильно понимаете либо Вы - гражданка "новой" страны ЕС...

Наверно. Но пока что моя страна Украина не "новая" страна ЕС.

тогда остается вариант, что Вы описываете истории случившиеся до 1.1.2005...

Я гражданин Израиля. Оформляюсь на работу в Германии в конкретную компанию. Посмотрел обьявления и вижу, что максимум через пол года могу устроиться в другуе место с большей зарплатой. Отсюда и вопрос, должен ли будет мой следуюший работодатель опять доказывать, что я незаменимый, т.е. проходить всю процедуру сначала?

как правило, да.