что такое POLYSOMNOGRAPHY ?

видимо, это английское слово.
А как будет то же самое по-русски или по-немецки ?

по-русски это и есть полисомнография - это в принципе латынь - это тест по изучению стадий сна, чаще всего используют при бессоннице да и многих других психо-неврологических заболеваниях

Polysomnografie или полисомнография. Исследование сна. Во время сна снимается ЭЭГ и фиксируются фазы сна. Кроме того, записываются ЭКГ, движения век и мышц бедра. На палец накладывется прибор, снимающий насыщение крови кислородом. Все это фиксируется. Исследование делается в Schlaflabor.

а как долго длится такое исследование (сколько дней) ?

Одну ночь. Если что- то не получилось- повторяют.

Одну ночь ?
Один мой знакомый находился в Schlaflabor 4 недели.
Oн обследовался там по поводу храпа.
После чего ему выписали дыхательную маску, в которой он должен спать дома.
Говорит, что был там так долго, потому что ему должны были настроить этот прибор

Вот тут есть информация. Конечно, если врачи в чем- то не уверены, могут и на неделю задержать. http://www.schlafmed.de/2_labor/26stationaer/262klassisch.htm