В Arbeitsfertrag написано :
Für die Kündigung des Anstellungsverhältnisses gilt eine Kündigungsfrist von 6 Wochen zum Quartalsende.
Это что означает?

уволиться можно только со следующего квартала, если заявление подано не позднее, чем за 6 недель до конца текущего квартала.

Для увольнения трудовых отношений срок для расторжения договора 6 недель считается с конца квартала.
К примеру, второй квартал заканчивается 30 июня. Если вы планируете увольнение или же вас планируют уволить к концу этого квартала, то об этом должно быть сообщено до 19 мая.
Если этот срок не выдержан, то увольнение последует к концу следующего квартала.

до 19 мая!

да, да до мая )

Ничего себе! Это значит, если я не успею до 19 мая, мне придётся ещё целый квартал работать?! Это меня так "повязали"?!!!

Повязали или нет это палка о двух концах. Фирма, если вы ей не нужны будете, тоже должна будет соблюсти эти условия.
Если вам не нравится работа и вы хотите уйти оттуда пишите сразу, чтобы не опоздать. Другого выхода нет, если договор подписан уже.

Спасибо! Буду торопиться.

Не знаю, что у вас в вашем Arbeitsvertrage про Probezeit. Обычно в период Probezeit другой порядок (условия) о сроках увольнения.