Если

Обязанности нет. По желанию - да, можно.

а можно описать процесс регистрации и что он дает ?

Раньше (много лет назад) в СПб делалось так: немец, проживающий в России в питерском консульском округе, без термина приходил в консульства в отдел, занимающийся немецкими гражданами (вход за визовым отделом, ближе к Таврическому саду) и говорил, что хочет зарегистрироваться как проживающий на территории консульского округа. У него копировали паспорт, заполнялась какая-то анкета на 3 строчки - вот и всё.

Сейчас, как я понимаю, в консульство даже и ходить не надо, всё можно сделать онлайн https://elefand.diplo.de/elefandextern/home/login!form.act... .

Что это дает... ну, наверно, контакт со стороны консульства в случае каких-нибудь катаклизмов. А так даже не знаю.