Всем привет!
Я никак не могу понять, почему в похожих предложениях стоят разные артикли?
1 Er arbeitet in einem Werk. Мужской род, Дат. падеж, артикль неопределенный
2 Ich fahre mit dem Zug. Предлог mit употребляется, только с Дат падежом.
По другому определить падеж я в данном случае не знаю как. Мужской род. Артикль определенный.

и еще вопрос:
Wie oft geht er zum Unterricht?
Артикуль zum образуется от слияния предлога ZU и артикля DEM.
Но на вопрос ╚как часто?╩ отвечают существительные стоящие в винительном падеже.
А в винительном падеже мужского рода употребляется определенный артикль < den >, а не < dem >.

Причем тут вопрос "как часто"? Zum в вопросе используется как цель движения.
fahren mit dem Zug - устойчивое выражение "ехать на поезде".

а в чем функциональная разница артиклей? неопределенный артикль и определенный имеют как раз ту роль в Ваших предложениях, которая исходит из типологич. названия.
на каком-то (неопр.) заводе , на поезде едет (уже в процессе, поезд конкретный)

Нет. Если я поеду завтра и еще неизвестно на каком поезде, то все равно Ich fahre mit dem Zug.

2. Der wievielte ist heute?
Почему определенный артикль стоит в начале предложения, ведь он ставится перед существительным?

3. Nun um diese Zeit bin ich bestimmt zu Haus. В каких случаях пишется ╚ zu Haus ╩ , а в каких ╚ nach Haus ╩ ?
Это зависит от падежа?

1. Der wievielte (Tag des Monats) ist heute? Здесь слово день месяца подразумевается но не произносится. Так же как и Ich bin dreißig (Jahre alt).
2. Fahren mit dem Zug, dem Auto, dem Fahrrad oder fliegen mit dem Flugzeug etc. ИМХО употребляется всегда с определенным артиклем. Почему и по какому правилу, не скажу.
3. Zu Hause = дома, nach Hause = домой. Все очень просто.

Предвидя следующий вопрос хочу уточнить, что это устойчивые выражения, сформированные ещё в те времена, когда сущ. муж. и ср. родов имели в дативе окончание -е. Это окончание сохранилось во многих выражениях, пословицах и поговорках.

правда Ваша )) поспешно ответила.

Это творительный падеж." Кем- чем". В нем. языке нет творительного падежа, он заменяется дательным. Поэтому вы всегда будете ехать и что-либо делать mit dem oder mit der.

4. Zur Zeit wohnen sie in Berlin in einem Internat.
Артикль ╚ Zur ╩ образуется от слиянии предлога ZU и артикля DER ?
Предлог ZU всегда сливается с определенным артиклем или нет ?
5. Freut mich, Sie kennen zu lernen.
Как правильно перевести это предложение? Какое значение предлога ZU?
Почему личное местоимение Sie стоит перед глаголом? Обычно Sie стоит после глагола √ это являтся формой вежливого обращения

Что такое ИМХО?

да
не всегда. Но с dem и der сливается( zum zur)

"Я рад с Вами познакомится." Собственно, предложение должно так звучать: Es freut mich, Sie kennen zu lernen.
В придаточном предложении, при двойных глаголах ( в этом случае kennen lernen), если первый глагол не является "haben" , ставится частица zu.

Это сложноподчинённое предложение. Поэтому во втором предложении глагол ставится на последнее место.
Уффф.. Надеюсь я правильно объяснила.

Да здравствует тётя Гугль!
И́МХО или IMHO (англ. IMHO), также имхо или imho (строчными буквами) ≈ известное выражение, означающее ╚по моему́ скромному мнению╩ (англ. In My Humble Opinion или In My Honest Opinion).

имею мнение хрен оспоришь

Это не сложноподчинённое предложение. Здесь инфинитивный оборот.
Зачем в объяснении "haben" ? Что такое двойной глагол?
НП Знаете ли Вы?
was ist korrekt? kennenzulernen oder kennen zu lernen
Rechtschreibung bis 1996 -------------------kennenlernen
Reformschreibung 1996 bis 2004/2006-----kennen lernen
Heutige Schreibung seit 2004/2006---------kennen lernen / kennenlernen (um Natur und Land kennen zu lernen / kennenzulernen)

Объясняете очень доходчиво. Большое спасибо.

6. Sie haben ein Radio. Das ist ihr Radio. -- Это ее радио.
Данный пример взят из раздела ╚притяжательные местоимения╩.
Личное местоимение ╚ее╩ употребляется в винительном падеже и ему
соответствует местоимение ╚sie╩ , а не ╚ihr╩.
Как я понимаю родительного падежа в склонении личных местоимений √ нет.
Как я понимаю притяжательные местоимения склоняются по роду , а
личные по падежу. Местоимение ╚ihr╩ употребляется в обоих случаях.
Вопрос состоит в следующем. Когда личное местоимение склонять как притяжательное, а в каких случаях по падежам. Если возможно объясните это на приведенном выше примере.

нет, это не винительный, а натуральный номинатив: was ist das? das ist ihr radio.

склонение всегда происходит "по падежам", напр.:
Das ist ihr Radio --это ее радиприменик
auf ihr radio lege ich meine zeitung --на ее радиприемник я кладу свою газету( акк)
auf ihrem radio liegt meine zeitung--на ее радиприменике лежит моя газета( дат)
генитив существует, конечно же , тоже: das ist eine frau, auf deren radio meine zeitung liegt- это -- женщина, на чьем раиоприeмнике лежит моя газета.

Спасибо за помощь. Еще один похожий вопрос.
Wo wohnen ihre Kinder?
Это мн. число . Значит ihre переводится как ╚их╩. Но перевод ╚их╩ есть в склонениях личных местоимений. Как это понять?

Множественное число в данном случае относится к Kinder. В русском языке такой формы нет. Хоть один ребенок, хоть десять, все равно будет "её".