Я знаю, что существует вежливое окончание письма, если что-то просишь.
Я даже знаю, что оно примерно такое:
Ich wäre ihnen sehr dankbar, wenn meine Bitte möglichst zügig bearbeiten können.
Это правильно?

Я не мастер писать письма. Но так не писал и наверное никогда не буду. Запомнил один из советов,как писать письма:
Не пишите подобострастно! (Vermeide, demütig zu schreiben!) Подобострастно написанное письмо не способствует вашему делу
Может достаточно что-то подобно этому: Für Ihre Bemühungen danke ich Ihnen. И всё.

Ich danke Ihnen im Voraus für Ihre schnelle Antwort ind verbleibe
mit freundlichen Grüßen
(Ihr Name)

Нет не правильно: Во второй части предложения нет подлежащего и кажется,что не хорошо обстоит дело с ╚können╩
Наверное так: Ich wäre Ihnen sehr dankbar, wenn Sie meine Bitte möglichst zügig bearbeiten könnten.

и ещё:
Слово zügig хорошо в казарме или в разговоре с подчинёнными, но не в просьбе побыстрее что-то сделать.
если уж на то пошло, то лучше нечто типа können Sie den/meinen Fall vorrangig bearbeiten
а вообще как товариСЧ вверху уже писал- не стоит письмо слёзно писать, как бы унижаясь- это 99% читающих не понравится.

Согласен,что zügig не очень подходит по стилю,но допустимо. Кроме того я указал только на грамматические ошибки.

Этим товарищем я и был и я же писал:
Не пишите подобострастно! (Vermeide, demütig zu schreiben!) Подобострастно написанное письмо не способствует вашему делу

Über eine schnelle Antwort würde ich mich (sehr) freuen.
да и то эта фраза скорее для успокоения своей совести. Адресат все равно будет своими критериями руководствоваться при обработке письма, имхо.

".... verbleibe ich mit freundlichen Grüßen", к сожаленью не лучший стиль, хотя и довольно распространено в обиходе. Лучше просто "Mit freundlichen Grüßen". А "verbleibe ich" правильнее сочетать с "Ihr ....". Но такое окончание писем уже очень популярно.